Fractais

Os alumnos de E.S.O. colaboraron na construción en cartón de esponxas de Menger de nivel 2, nun proxecto para a X edición de IMATXINA, no que se tentará elaborar  unha esponxa de nivel 4, un obxecto fractal,  coa aportación dos colexios de Vigo. O resultado poderá verse na Fundación Barrié.

Pero, que é un FRACTAL?

Os obxectos xeométricos simples teñen dimensións enteiras: así, un punto ten dimensión 0, unha recta dimensión 1, un plano dimensión 2 e un corpo con volume, dimensión 3. 

Sen embargo, hai obxectos cuxa dimensión é un número fraccionario: son os fractais. Un caso moi típico de fractal témolo aquí mesmo: as rías galegas. Se queremos medir a súa lonxitude, concepto moi relacionado co de dimensión, obteremos un número que non é enteiro. Outra característica dos fractais é a autosemellanza, o que quere dicir que son iguais a calquera escala. Se observades unha coliflor, por exemplo, veredes que cada parte é unha copia, a escala menor, do total.

Por tanto, un fractal é un obxecto de dimensión non enteira e autosemellante.

Hai moitos exemplos de construcción de fractais en matemáticas:

• A curva de Koch baséase en tomar un segmento, quitar o terzo central e substituílo por dous segmentos cara arriba, cun áncgulo de 60º, de igual lonxitude que o que tiñamos. Se repetimos o proceso con cada terzo central infinidade de veces, chegamos a un obxecto fractal de dimensión 1,26 (é dicir, entre unha recta e un plano).

                                              

• No triángulo de Sierpinski partimos dun triángulo equilátero do cal suprimimos o equilátero interno que toca na metade dos lados.Seguindo o proceso infinidade de veces, obtemos un obxecto fractal de dimensión 1,58.

• Para facer a  esponxa de Menger collemos un cubo e dividímolo en 27 cubiños iguais, quitando o cubo central e os que están no centro de cada cara. Repetindo este proceso infinidade de veces obtemos a esponxa, de dimensión 2,73.

Exercicios para 3º e 4º:

1. Tódolos obxectos teñen dimensión enteira?
2. Que é un fractal?
3. Que é a autosemellanza?
4. Como se constrúe unha esponxa de Menger?